Multilayer Perceptron & Classify image

MLP

以多层感知机为例，概述多层神经网络

隐藏层

此图为多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。

表达公式

具体来说，给定一个小批量样本$\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$，其批量大小为$n$，输入个数为$d$。假设多层感知机只有一个隐藏层【其中隐藏单元个数为$h$】记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为$\boldsymbol{H}$，有$\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}$。

因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为$\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}$和 $\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}$，输出层的权重和偏差参数分别为$\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}$和$\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}$。

含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的计算为

$$
\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}
$$

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

$$
\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.
$$

存在的问题

虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络

其中输出层权重参数为$\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o$，偏差参数为$\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o$、

结论：隐藏层未起到作用

激活函数

问题解释

全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。

解决方法

引入非线性变换
Example:对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。
这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

ReLU函数
ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素$x$，该函数定义为

$$
\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).
$$

可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。

Sigmoid函数
sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：

$$
\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.
$$

tanh函数
tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

$$
\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.
$$

我们接着绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。

激活函数的选择

ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。

用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。

在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。

在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

那么之前表达式中输出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的计算变为：

$$
\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}
$$

其中$\phi$表示激活函数。

多层感知机实现

# import package and module
import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("path to file storge d2lzh1981")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)

获取数据集

1
2
3

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,
			root='path to FashionMNIST.zip')

定义模型参数

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)

params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
    param.requires_grad_(requires_grad=True)

定义激活函数

1
2
3

def relu(X):
    return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))
#进行0和Ｘ的大小比较

定义网络

def net(X):
    X = X.view((-1, num_inputs))
    H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
    return torch.matmul(H, W2) + b2

定义损失函数

1	loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()

训练

1 2	num_epochs, lr = 5, 100.0 d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)

多层感知机Pytorch简化

import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("path to file storge d2lzh1981")
import d2lzh1981 as d2l

初始化模型参数

# init model and param
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
    
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), 
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)

训练

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='path to FashionMNIST.zip')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)

num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)

MLP

隐藏层